【1】和と差に関する問題

中学受験では典型の問題です。当たり前ですが、偏差値の高い学校ほど問題は難しくなります。しかし偏差値の高いほとんどの学校は難しいことを要求していません。いかに基本に忠実か、いかに式や計算を理解しているのかを見ています。

さんすうがくではこの和と差に関する問題を千里の道の第一歩として考えています。時間に余裕のある方はこのページから一つ一つ頑張っていきましょう。

ちなみにこの和と差に関する問題(俗に言う和差算)は、高校受験で学習する方程式などの問題にも出題されます。何をx、yとするのか、苦手な人も多いと思いますが、この単元で学習するやり方を習得すれば何を文字でおけばいいのかわかると思います。ぜひ、チャレンジしてみてください。

和と差に関する問題で重要な解法

  • 線分図と面積図の書き方
  • 図の書き分け
  • 比の考え方
  • ベン図
  • 仕事量の仮定

1、線分図と面積図の書き方

この線分図、面積図はさんすうがくで最も使われる解法です。基本的に(場合の数や推理算を除いて)算数の問題はこの2つのやり方で解答にたどり着くことができます。

そもそも、この図を書くやり方で解くのはケアレスミスを防止するためです。学生のミスで一番多いのは式のみになってしまう、ということです。そして残念なことに、できない学生の方が式だけに頼ってしまう傾向があります。

線分図・・・横に線を伸ばしてあるものとあるものを比べる時に用いる。この図では100円のものと50円のものを比べていて、どちらも半額になると2つの料金の差も50円から25円になることがわかる。

面積図・・・“図の書き分け”で詳しく触れますが、1個あたり●円のものが○個ある、といった時に便利です。この図では1本あたり100円の鉛筆と150円のマーカーを買った時の合計金額を表しています。

見直しする際にその式に書かれている数字自体まで見直す人はほとんどいないと思います。なので、式だけあっていれば実際に何もしていないのに、見直した気になってしまうといった可哀想なことがおきてしまいます笑 

必ず図を書いて、本当にその数字まで正しいのか、確認しましょう。

2、図の書き分け

じゃあどういうときに面積図なのか、線分図なのか?と疑問に思うかもしれません。実際、受験生だった時の僕も、どういう時に書き分ければいいのか、わかっていませんでした。結論から言うと、明確な正解はありません。その気になればどっちでやってもあまり変わりません。

ただし、やりやすさで言うなら、“単位量あたりの時”に面積図を書くとわかりやすいです。“単位量”とは時速○km(1時間で○km進む)や、1個あたり○円、1部屋あたり何人かなど、ある単位に対し、数字が示されている時です。

図のように縦の軸に150円/1個、横に5個と書いてあればこの料金が150×5=750円と簡単にわかるわけです。時速も一緒で、1時間に60km進み、それが6時間進んだので60×6=360kmとなります。

(逆に)りんご1個とみかん2個で○円などの場合は線分図で書いた方がわかりやすいです。

3、比の考え方

そもそも“比”とはなんでしょう?

比とは何かと何かを“比”べているわけですから、どれくらいの割合で2つの数が違うのか比べているということになります。先月のお小遣いと今月のお小遣いはどっちの方がどれだけ多いのか、クラスの男子は女子よりどれくらい多いのか、そういった場面で比が使われます。

今回の問題はどこを基準に他と比べるのかが重要になってきます。(この基準を定めることを“仮定する”と言います)

例えば100円を①とすると、400円は④、600円は⑥と表すことができます。逆に99円を①とすると⑨を出すのがすごくめんどくさいですよね?このように何を基準と仮定するかで問題を解く速さが大幅に変わります。

4、ベン図

ベン図も一種の図の書き方でかなり特殊だと思います。

このベン図は広い範囲の中で複数の事に当てはまる人や数字を数える際に便利です。(文章じゃとても難しく聞こえますね笑)

例えば、この図だと1〜100までの2の倍数と3の倍数を書いています。もちろん1〜100の中には2の倍数でも3の倍数でもない数があります。(赤)逆に2の倍数でもあり、3の倍数でもある数(6、12、18・・・)などもあります。(青)他に2の倍数だけで3の倍数でない数(黄色)、3の倍数だけど2の倍数じゃない数(緑)があります。

5、仕事量の仮定

これは何も仕事の問題に限った話ではないですが、問題に行き詰まった時、ある量を“仮定する”というのはとても重要な事です。ただし仮定する時には、先の計算を想定してやりやすいものを仮定することをお勧めします。

仕事算では、仕事の総量を仮定することで、A,Bの仕事をするスピードがわかります。この図ではAは4日、Bは3日で終わらせる仕事を表しています。全体の仕事量を“12”(3と4の最小公倍数)とするとAは1日で③、Bは1日で④仕事を進めるということがわかります。

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