【2】割合と比

割合と比も【1】の和と差に関する問題と同様で中学入試、高校入試で頻繁に出題される問題です。和差算を解く上でも“比”を使って解くやり方があったと思います。

この割合や比を苦手とする多くは百分率や歩合、分数を少数にできなかったり、【1】でも書いたように何を基準に比べればいいのかわからない、といった方が多いんじゃないかと思います。

そういう苦手意識を持つ方にこそ、この解法を見ていただいて解く際の参考にしてもらいたいです。

割合と比で重要な解法

  • 前項:後項
  • 単位の揃え方、考え方
  • 逆比
  • a:b=c:d
  • 百分率、歩合、分数

1、前項:後項

入試に頻繁に出題はされないけど、知らなかったらできない問題です。軽く、目を通して覚えておきましょう。

2、単位の揃え方、考え方

学生が問題を解く上でケアレスミスに陥る最も大きな要因の1つに単位をごちゃ混ぜで計算するというものがあります。【1】の時速を使う問題でも書きましたが、単位が違う場合、揃えてあげないと計算がうまくいきません。

例えば・・・

時速50kmで150km走った。何時間走ったか。という問題に対して、

50×150=7500と計算する人がいます。

しかしこれは間違いで、正解の式は

150÷50=3となります。

今の例におけるミスの原因は単位を書いていなかったとこだと考えられます。もし単位を一個一個書いていれば、

50km/h×150km=7500㎢/h(単位?)となり、単位がわからなくなってしまいます。少なくとも何時間ですか、と聞かれているので単位はhになるはずです。本来ならここでミスに気づきます!

一方で、150km÷50km/h=3h となり単位を用いて式が正しいことが証明されます。

以上のように単位を揃える重要性は理解していただけたと思います。とはいえ、中には覚えなければいけないものがたくさんあって大変だと思うので、覚えなくてもわかる単位の思い出し方を面積の単位aとhaを使って紹介していきます。

上のように1㎡と1㎢さえわかっていればその間の大きさがa、haとわかると思います。あとはhaの方が大きいとさえ覚えておけば、いちいちa=100㎡、ha=10000㎡と覚えなくても大丈夫です。

今のはほんの一例ですが、他にも覚えないといけない単位、覚えなくてもなんとかなる単位があります。公式なども同じで、絶対に覚えないといけないものだけ効率よく覚えていきましょう。

3、逆比

ちゃんと丁寧にここまで勉強された方は一度、逆比について勉強したと思います。忘れてしまった方はここの問題をもう一回見直しておくといいと思います!

今回の逆比は歯車を用いて説明していきます。

上の図からわかるように大事になってくるのは歯車が必ず噛み合って動くという点です。そのため、アとAは対応して、イとBも対応してという風にそれぞれ対応しながら動いていきます。

すると、歯数4の歯車が3回転するとちょうど歯数3の歯車が4回転します。わからない方は面積図を書いてみてください。今回同じなのは歯数の数です。(歯車は噛み合って動くので歯数は同じになります。)

今度は少し難しいテーマから逸れるかもしれませんが、分数の逆比を使った例です。

●の1/3と○の1/2が等しいとき、●:○=1/3の逆数:1/2の逆数になります。逆数は分数の分母と分子を入れ替えるだけなのでそうは難しくないと思います。このやり方がわかれば面倒な記号の統一をしなくても一瞬でそれぞれの比を出すことが可能です。

4、a:b=c:d

問題を解いているとよくa:b=c:dという形を見かけると思います。もちろん、a、b、c、dには数字が入ります。この時、a×d=b×cになることを頭に入れておいてください。

5、百分率、歩合、分数

“割合”を表すために用いられるやり方の中で頻出されるのは上の3つです。

百分率・・・全体を100%として割合を表している。つまり100%が基準。

歩合・・・全体を10割として比べている。10割が基準。          (他の単位で分、厘がある)

分数・・・全体を1として比べている。

つまり、100%=10割=1ということです。

基本的に“%”は食塩水などの問題で使われ、“割”は売買損益で使われます。

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