【7】図形の移動と構成

図形の移動と構成は今までのような完全に初めての新単元とは違い、平面図形と速さの問題の複合問題が多数です。もちろん復習だけでなく、新しく見る問題も多数あるので復習半分、初めて見る問題半分、といったところでしょうか。

図形の移動と構成の問題は速さの問題同様、時間によって状況が変化してしまうタイプの問題も含まれています。不安な方は【3】速さ(特に旅人算)や【4】平面図形を軽く復習してからチャレンジするといいでしょう。

図形の移動と構成の重要な解法

  • 線対称、点対称
  • 図形の典型(復習)
  • 状況を1個ずつ想定、イメージする
  • 移動の軌跡

1、線対称、点対称

対称とはあるものとものの間に釣り合いの関係があることを指します。なので、

線対称・・・ある“線”に対して釣り合いの関係がある

点対称・・・ある“点”に対して釣り合いの関係がある

ということです。

わかりやすく図にすると下のようになります。

点対称が少し難しいだけで線対称は鏡になっているという認識で大丈夫です。

2、図形の典型

ここでおさらいしておきたいのは以下の

  • 補助線
  • 等積変形

の2つです。

① 補助線

まず初めに思い出して欲しいのはこの補助線です。

補助線を引くことで等積変形しやすくするのがポイントでしたね。特に線を引くコツは自分が解きやすい形、すなわち知っている形に変形することでした。

上の例を見てよく復習しましょう。

② 等積変形

図形を解く上で補助線と同様に重要なのは等積変形でしたね。

等積変形とは、問題をより解きやすくするために等しい面積を変形させることです。この等積変形を成立させるためには図形の面積の求め方が必要です。

この例をおさらいしてみましょう

三角形の面積は底辺×高さ×1/2です。

つまりこの図は底辺も高さも同じなので、どの三角形も同じ面積になります。

このように図形を移動させることを等積変形と言います。

この2つの補助線と等積変形を理解すると、

台形を三角形にしてしまうことも簡単です。

3、状況を1個1個イメージする

これを行う理由はシンプルで、ありえない計算ミスを防げるからです。

頭では理解していてもいざ計算をすると学生はかなりぶっ飛んだ答えでも平気で正解だと思い込んでしまいます。特に小数点を1つずらしてしまったり、そもそも聞かれていることに答えていなかったりとミスのしようは様々です。

そのためにもある程度はっきりと、どの時間に誰がどこにいるのか理解しましょう。

簡単な例ですが、点 Aが曲がるたびに状況を把握するのならばこのような形になります。頭ではわかっていても、いざ計算するとなるとこんがらがってしまうので、

これくらいなら簡単に覚えられる、ではなくて

これくらいの手間なら図に書いちゃおう、と考えるようにしましょう。

4、移動の軌跡

今回の単元は図形の移動なので、移動する際の点の動き方に注目しましょう。

おうぎ形の軌跡は

このように4分円→直線→4分円になります。

直線になる理由は大丈夫ですか?直線になっている部分はおうぎ形の弧が地面に接している時です。すなわち、

円の中心から弧までの長さは一定、よって地面から緑の直線の距離も一定となります。

また、正方形の内部に円を放ち、外周から離さないで移動させると、円が触れない部分は

上の青のところになります。

四角形の4つの端っこは何と無く想像つくかもしれませんが、真ん中も長さによっては触れることはないのでよく覚えておきましょう。

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