【11】場合の数

場合の数は入試でもかなりの頻度で出題される上、苦手な方がとても多い問題です。僕自身、場合の数は嫌いですし、今でも好きではありません笑

しかし、嫌いだからといって避けてはいけません。本当に行きたい学校があるのなら、本当に合格したいなら、場合の数こそ狙い目なのです。

ちなみにですが、場合の数は中学受験、高校受験で出題されるだけではなく、就活(就職活動)のテストでも出てきます。(僕も就活する歳になって初めて知りました。)今まで苦手で文系に進んでいた学生が1から学び直しているのを何度も見てきました。

せっかく中学受験、高校受験でやるんですから、忘れることのないよう、きっちりとやっていきましょう。

場合の数の重要な解法

  • +と×
  • ボックスの使い方
  • PとC(高校受験の範囲)
  • 樹形図
  • 余事象

1、+と×

場合の数や確率の問題でよく勘違いしてしまうのはどういう場合に足して、どういう場合にかけるか、ということです。

ここで、下の例を見てみましょう。

+を使う時は2つの内容を合わせて考えたいときです。はじめの行動と二つ目の行動がお互いに影響しない場合、+を使って計算します。

今回、サイコロで2が出る時と4が出る時は別々の問題なので、1+3=4

4通りとなります。

×を使う場合、主に2つの内容が関係ある時です。

男女の組み合わせが(赤、緑)(黄、緑)(赤、青)(赤、緑)と2つのものがそれぞれ関係し合っています。

図に表すとわかりやすいと思います。

2、ボックスの使い方

場合の数を計算するときに僕が重宝している解き方が、ボックスを使うものです。

例えば、A,B,Cの3人を1列に並ばせるとき、

3人が並ぶので□□□とボックスを3つ作ります。

はじめの□に入れる人の数はA,B,Cの3通りあります。

はじめのボックス□にAを入れた場合、

A□□になります。

真ん中のボックス□にはBかCの2通りがあります。

仮にBを入れたとすると、

AB□となり、最後のボックス□にはCが入ります。

このように考えると、並び方は3×2×1=6

6通りとなる。

今回の問題ははじめの行動(男子を選ぶ)と後の行動(女子を選ぶ)は組み合わせに影響が出るので×を使います。

3、PとC(高校受験の範囲)

中学受験ではPのことを順列、Cのことを組み合わせと呼んでいます。

逆に高校では順列のことをP、組み合わせをCと書きます。

ここで、順列と組み合わせについておさらいしましょう。

順列・・・ものや人を1列に並べたりする、順番が関係あるとき

組み合わせ・・・ものや人を何組かの中から選ぶ、順番の関係ないとき

です。

上の図の例でも書いてありますが、PとCの前後に数字を書くのが一般的です。

ここで気をつけて欲しいのが、組み合わせ(₅C₄)の時です。

分母の数は4人の並び方と同じになります。

割る理由は被って数えてしまうからです。

このように、A,B,Cを選ぶ場合は1通りです。

(ABC,ACB、BAC,BCA,CAB,CBAのどの順番で数えても選んでいる数字は同じだからです。)

ここからわかることは

ということです。

PとCは高校や大学で必ず出てきます。

余裕のある人は頭に入れておきましょう。

4、樹形図

場合の数とは、簡単に言えば調べ上げる問題です。

ですがそれではめんどくさいので楽しようとしたのがボックスの使い方の計算や、順列や組み合わせの考えでした。

しかしそれでは見直しする際や、複雑な並べ替えをする際に解けなくなってしまいます。

そこで、ここでは樹形図の書き方を説明していこうと思います。

例えば、●○●●の4つの石を並べる場合の数を調べていきます。

はじめの石が○の時、続く石は●●●の1通りになります。

しかし●の時、次の石は○か●の2通り、

このように木の枝のようにどんどん広げて数え上げるやり方を

樹形図と言います。

5、余事象

場合の数の最後のポイントは余事象です。

例えば、

コインを5回投げる時、表が1回以上出る場合の数を求める時、

コインの表の数は上のように分類されます。

まず、コインを5回投げるので全部で32パターンの結果が考えられます。

コインが1回以上出る場合、

(コインが1回でる、2回でる、3回でる、4回でる、5回でる)数全部を数えないといけません。

これらを全部計算するのは面倒なため、

全体−0回表が出る場合の数=1回以上表が出る場合の数

となります。

この計算のことを余事象と言います。

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